nano-google: Logarithme naturel

Le logarithme naturel ou logarithme népérien, ou encore logarithme hyperbolique jusqu'au xx^e siècle, noté

ln()

, est un cas particulier de fonction logarithme, capable de transformer des produits en sommes. L'utilisation de telles fonctions permet de faciliter les calculs comprenant de nombreuses multiplications, divisions et élévations à des puissances rationnelles.

Le logarithme naturel ou népérien est dit de base

e

car

ln(e) = 1

Le logarithme népérien d'un nombre x peut également être défini comme la puissance à laquelle il faut élever

e

pour obtenir x. La fonction logarithme népérien est donc labijection réciproque de la fonction exponentielle. C'est également la primitive définie sur les réels strictement positifs et qui s'annule en 1 de la fonction inverse

x \mapsto 1/ x

Cette fonction fut notée $l.$ ou $l$ , dès le début du xviii^e siècle1, et jusque dans la première moitié du xix^e siècle2, puis log.3 ou log4 dès la fin du xviii^e siècle, puis Log pour la différencier de la fonction log (logarithme de base quelconque, ou plus particulièrement logarithme décimal)5, ou encore logh (« logarithme hyperbolique »)6, avant que ne tente de s'imposer la notation préconisée par les normes AFNOR de 19617 et ISO 80000-28 : la notation ln 9.

Graphe de la fonction logarithme naturel.

Sommaire

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Historique[modifier | modifier le code]

Article connexe : Histoire des logarithmes et des exponentielles.

Ce logarithme est appelé logarithme népérien en hommage au mathématicien écossais John Napier qui est à l'origine des premières tables logarithmiques en mathématiques. Celles-ci ne furent cependant pas des tables de logarithmes népériens10. On date en général la naissance des logarithmes népériens de 1647, date à laquelleGrégoire de Saint-Vincent travaille sur la quadrature de l'hyperbole et démontre que la fonction obtenue vérifie la propriété des fonctions logarithmes (transformation d'un produit en somme) mais lui-même ne voit pas le lien avec les logarithmes inventés par Napier et c'est son disciple Alphonse Antoine de Sarasa qui l'explicitera en 164911. La fonction ln s'est d'ailleurs appelée un certain temps fonction logarithme hyperbolique compte tenu de sa découverte comme aire sous l'hyperbole12. Le terme de logarithme naturel apparaît pour la première fois dans une note de Nicolaus Mercator en 1668, quand celui-ci met en place sa série de Mercator13. Sa série exploitée parNewton (Method of Fluxions and Infinite series, 167114), permet de calculer assez simplement les valeurs du logarithme de Grégoire de Saint-Vincent15. Le calcul des autres logarithmes apparaît alors bien compliqué. Le logarithme de Grégoire de Saint-Vincent devient alors le logarithme le plus « simple » et le plus naturel.

Pour tout réel a > 0, ln(a) peut être défini comme l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction x↦1/x, l'axe des abscisses et les droites d'abscisses 1 et a.

La fonction logarithme naturel comme primitive de la fonction inverse[modifier | modifier le code]

La fonction

x \mapsto 1/ x

est continue sur

]0, +\infty[

. Elle admet donc des primitives dont une seule s'annule en 1. Cette primitive est appelée logarithme naturel et est donc définie par :

\forall x \in \R^*_+\quad\ln x=\int_1^x \frac1t~\mathrm dt.

Étude de la fonction[modifier | modifier le code]

La fonction logarithme naturel est définie et dérivable (donc continue) sur $]0, +\infty[$ et pour tout réel $x$ strictement positif, $\ln'x=\frac1x.$
Puisque sa dérivée est strictement positive, on en déduit que le logarithme naturel est strictement croissant.
Les limites de la fonction aux bornes de son intervalle de définition sont : $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = - \infty\qquad\text{et}\qquad\lim\limits_{x \to + \infty}\ln(x) = + \infty.$ C'est donc une bijection de $]0, +\infty[$ sur ℝ.
Son nombre dérivé au point $1$ (qui donne la pente de la tangente au graphe au point de coordonnées $(1, 0)$ ) est : $\lim\limits_{h \to 0}\frac{\ln(1+h)}h=1.$